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高中數(shù)學(xué)證明方法范文第1篇

關(guān)鍵詞：不等式；導(dǎo)數(shù)；定積分；證明

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）17-0110-02

不等式證明是高等數(shù)學(xué)中常見的題型，證明方法靈活多樣，具有較強的技巧性和綜合性。同時由于知識結(jié)構(gòu)不同，高等數(shù)學(xué)中不等式證明方法和高中時應(yīng)用的證明方法也有所不同。下面我們介紹高等數(shù)學(xué)中常用的幾種不等式證明方法，以幫助剛踏入大學(xué)的同學(xué)轉(zhuǎn)變證明思路，快速掌握高等數(shù)學(xué)中的不等式證明方法。

一、利用導(dǎo)數(shù)知識證明不等式

（一）利用函數(shù)單調(diào)性

此方法關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造合理的輔助函數(shù)，將不等式證明轉(zhuǎn)化為比較兩個函數(shù)值的大小。

例1？搖 證明不等式ex>1+x，x≠0

證明：設(shè)f（x）=ex-1-x，則f'（x）=ex-1.故當(dāng)x>0時，f'（x）>0，f（x）嚴格遞增；當(dāng)x

（二）利用函數(shù)的極值和最值

當(dāng)給定的不等式是具體的函數(shù)，且又給出自變量的變化范圍，欲證明它大于或是小于某個定數(shù)，這時往往利用函數(shù)的極值和最值來證明不等式。

例2 當(dāng)x≥0時，證明nxn-1-（n-1）xn-1≤0（n>0，n∈N）.

證明：令f（x）=nxn-1-（n-1）xn-1，則f'（x）=n（n-1）xn-2-n（n-1）xn-1=n（n-1）xn-2（1-x）.令f'（x）=0，得駐點x=1（因為x=0 是x≥0的端點，所以x=0不是駐點）且當(dāng)x

（三）利用函數(shù)的凹凸性

當(dāng)所求證的不等式中出現(xiàn)了形如f■，■的式子時，我們可以考慮根據(jù)函數(shù)凹凸性的一些性質(zhì)來證明。

例3 己知：α

證明：設(shè)函數(shù)f（x）=x3，x∈（0，+∞），則f'（x）=3x2。f''（x）=6x>0.由引理可知：函數(shù)f（x）=x3，x∈（0，+∞）是凹函數(shù)。設(shè)a1=a2=■，x1=α，x2=β，則f（a1x1+a2x2）=f（■α+■β）=f■≤a1f（x1）+a2f（x2）=■，而f■=■■，且由已知得到■=■≤1，所以■=f■≤■≤1.故有α+β≤2.

（四）利用微分中值定理

微分中值定理將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)有機地聯(lián)系起來，如果所求證不等式經(jīng)過簡單變形后，與微分中值公式的結(jié)構(gòu)有相似性，就可以考慮利用微分中值定理來證明，其關(guān)鍵是構(gòu)造一個輔助函數(shù)，然后通過微分中值定理的公式證明。

微分中值定理包括費馬引理，羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理等。其中比較重要的是羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

例4 證明：對一切h>-1，h≠0成立不等式■

證明：設(shè)f（x）=ln（1+x），則由微分中值定理得到ln（1+h）=ln（1+h）-ln1=■，0

當(dāng)h>0時，由0

（五）利用泰勒公式

當(dāng)所涉及命題中出現(xiàn)二階或更高階導(dǎo)數(shù)時，我們可以考慮使用泰勒公式證明，其關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)奶厥恻c展開。

例5 設(shè)f（x）在[0，1]上的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，f（0）=f（1）=0，并且當(dāng)x∈（0，1）時，f''（x）≤A.求證：f''（x）≤■，x∈（0，1）.

證明：因為f（x）在[0，1]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以f（x） 可以展開為一階泰勒公式f（x）=f（x0）+f'（x0）（x-x0）+f''（ξ）■，其中ξ在x與x0之間.

取x=0，x0=x，則泰勒公式為：，f（0）=f（x）+f'（x）（0-x）+f''（ξ）■，其中0

因為f（1）=f（0）=0，上面兩式相減得f'（x）=f（1）-f（0）+■f''（ξ1）x2-f''（ξ2）（1-x）2，又f（x）≤A，x∈（0，1），所以f'（x）≤■[x2+（1-x）2]=■（2x2-2x+1），而0≤x≤1，（2x2-2x+1）≤1，故f''（x）≤■.

二、定積分不等式的證明方法

（一）利用定積分的性質(zhì)

性質(zhì)：設(shè)函數(shù)f（x）和g（x）在區(qū)間[a，b]可積，且f（x）≤g（x），則■f（x）dx≤■g（x）dx.

例6 設(shè)f（x）在區(qū)間[0，1]上連續(xù)且單調(diào)減少，試證：對任何a∈（0，1），有■f（x）dx≥a■f（x）dx.

證明：構(gòu)造變上限的積分函數(shù)，令F（t）=■f（x）dx-t■f（x）dx，t∈（0，1），則有F（0）=0，且由上式可以看出t≥x≥0，所以f（t）≤f（x），故有定積分的性質(zhì)得到F'（t）=f（t）-■f（x）dx=■f（t）dx-■f（x）dx=■[f（t）-f（x）]dx≤0.

因此由拉格朗日中值定理得到F（a）-F（0）=F'（ξ）a≤0，ξ∈（0，a），即F（a）≤0，原式得證。

（二）利用積分中值定理

積分中值定理：設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]連續(xù)，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得■f（x）dx=f（ξ）（b-a）。

例7 設(shè)f（x）≥0在[0，1]上連續(xù)，且單調(diào)下降，0

高中數(shù)學(xué)證明方法范文第2篇

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；不等式；解題思路

不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，同時也是高考中的重點和難點。因此，高中數(shù)學(xué)教師在進行不等式的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)在對重要不等式進行概念講解的基礎(chǔ)上同時注重不等式解題思路的有效分析。

一、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要不等式的簡析

不等式作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點，數(shù)學(xué)教師在進行教學(xué)時應(yīng)當(dāng)注重對不等式的知識點進行合理的講解與闡述。高中數(shù)學(xué)中重要的不等式主要有均值不等式、柯西不等式、三角不等式等。以下從幾個方面出發(fā)，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要不等式進行簡析。

1.均值不等式

均值不等式一直是不等式中的重要考點，其中有調(diào)和平均數(shù)與幾何平均數(shù)、算數(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)的大小關(guān)系歷來是?？嫉膬?nèi)容，其中調(diào)和平均數(shù)Hn=n/（1/a1+1/a2+...+1/an）≤幾何平均數(shù)Gn=（a1a2…an）（1/n）≤算術(shù)平均數(shù)An=（a1+a2+…+an）/n≤平方平均數(shù)Qn=，即調(diào)和平均數(shù)小于等于幾何平均數(shù)、算數(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)（Hn≤Gn≤An≤Qn）

2.柯西不等式

柯西不等式是不等式中的重要內(nèi)容，在高考中柯西不等式二維形式的證明是重要考點，柯西不等式二維形式的證明為（a2+b2）（c2+d2）（a，b，c，d∈R）=a2?c2+b2?d2+a2?d2+b2?c2=a2?c2+2abcd+b2?d2+a2?d2-2abcd+b2?c2=（ac+bd）2+（ad-bc）2≥（ac+bd）2，既等號在且僅在ad-bc=0即ad=bc時成立。

3.三角不等式

在三角不等式中，和差化積是學(xué)生比較難以掌握的點，和差化積的主要內(nèi)容有

sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]?cos[（α-β）/2]

sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]?sin[（α-β）/2]

cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]?cos[（α-β）/2]

cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]?sin[（α-β）/2]

這四個公式也是不等式解題思路中常用的工具。

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要不等式的解題思路

在不等式的教學(xué)過程中高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)注重解題思路的有效應(yīng)用，通過授之以漁的方法促進學(xué)生對不等式這一重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容進行有效的學(xué)習(xí)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較重要的不等式解題思路主要有比較法、分析法、綜合法、放縮法等。以下從幾個方面出發(fā)，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)中重要不等式解題思路進行分析。

1.比較法

不等式中比較法的解題思路通常是通過對實數(shù)n和b進行比較，并通過變形、作差、通分、配方等一系列方法對不等式進行比較與判斷。在這一過程中高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)注重因式分解、和差化積等方面的有效應(yīng)用，從而使學(xué)生對不等式比較法的解題思路有著更清晰的認識。

2.分析法

不等式法中分析法的解題思路大多從需要證明的結(jié)論出發(fā)并進行反向推導(dǎo)，在這一過程同通過對題目中提供的公式與數(shù)字進行分析最后得出已知條件。在進行分析法解題思路的講解過程中高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)注意分析法中所有推導(dǎo)過程都必須是可逆的。

3.綜合法

高中數(shù)學(xué)教師在進行綜合法的解題思路講解時應(yīng)當(dāng)注重對不同的定理與公式進行綜合性應(yīng)用并結(jié)合題目中提供的已知條件與數(shù)字一步一步進行綜合性的分析，從而得到最終要證明的結(jié)論。

4.放縮法

放縮法是高中數(shù)學(xué)中不等式的重要解題思路。放縮法主要應(yīng)用在不等式的證明中，在這一過程中根據(jù)不等式的傳遞性，數(shù)學(xué)教師在進行公式變形時可以將一些式子與數(shù)字進行放大與縮小，從而達到有效證明的效果。在這一過程中高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)注重教授學(xué)生放縮的尺度，促進學(xué)生放縮法解題思路應(yīng)用水平的有效提升。

隨著我國數(shù)學(xué)教學(xué)水平的不斷進步，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中對不同的解題思路進行探索成為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要任務(wù)。不等式作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點與難點，高中數(shù)學(xué)教師在進行這一部分知識的教學(xué)時應(yīng)當(dāng)注重對不同不等式的基礎(chǔ)知識進行清晰的講解。在使學(xué)生掌握了扎實的基礎(chǔ)知識后通過對不同解題思路進行分析從而使學(xué)生能夠更好地掌握這一高中數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容。

參考文獻：

[1]黃海燕.基于數(shù)學(xué)不等式解題思路的探討[J].理科考試研究，2012，5（11）：52-55.

高中數(shù)學(xué)證明方法范文第3篇

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；類比思想；學(xué)生學(xué)習(xí)

類比是指比較兩個研究對象在形式、屬性、特征和關(guān)系等方面的類似之處，從而推斷兩者在其他方面類似的推理方法，有利于發(fā)現(xiàn)兩個研究對象之間存在的規(guī)律. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師有意識地培養(yǎng)學(xué)生的類比思想，不但可以幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)知識溫故知新，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新舊知識間的聯(lián)系，而且可以將復(fù)雜抽象的數(shù)學(xué)知識簡單形象化，易于學(xué)生理解與掌握，筆者從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)多年來，不斷進行數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中實效性的探索與研究，在本文中以案例分析的形式說明類比思想運用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)之中的優(yōu)越性，希望能給讀者帶來一定的幫助和參考.

[?] 合理運用類比思想服務(wù)于教學(xué)之中，由淺入深幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)新知

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，很多數(shù)學(xué)概念的知識點間相似之處較多，而在學(xué)習(xí)新概念的時候，數(shù)學(xué)教師需要將其與學(xué)生已掌握的概念進行類比，從而幫助學(xué)生較好地理解與掌握新概念. 例如在講解“點、線、面間的位置關(guān)系”時，高中數(shù)學(xué)教師可以利用類比思想培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力. 如平行線的傳遞性在平面和空間都成立，而平面條件下成立的命題“如果直線ab，bc，則a∥c”，拓展至空間時則不成立，而這樣對數(shù)學(xué)概念進行有效類比更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新概念，對數(shù)學(xué)概念的認識更為準確.又如高中數(shù)學(xué)教師在講解函數(shù)性質(zhì)時，可以指導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)圖象與實例，讓學(xué)生以函數(shù)角度去類比處理不等式、方程和數(shù)列等問題，這樣既可以幫助學(xué)生熟練應(yīng)用類比思想，又可以幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系. 再如高中數(shù)學(xué)教師在講解復(fù)數(shù)運算時，可以將復(fù)數(shù)運算與實數(shù)運算相類比，而解題中常用的數(shù)形結(jié)合、換元法等解題方法與思路，也在某種程度上是類比思想的體現(xiàn).同樣，在講解數(shù)學(xué)定理時，如果教師只是要求去學(xué)生死記硬背，不注重對定理發(fā)現(xiàn)過程的理解，那么學(xué)生很容易忘記，無法做到理解運用. 雖然立體幾何中的某些定理已經(jīng)過證明，學(xué)生只需要了解運用即可，但是如果教師有意識地利用類比思想對定理證明的過程進行適當(dāng)講解，就可以拓寬學(xué)生的思維，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題能力，強化學(xué)生利用類比思想分析和解題的意識，幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)新知識的理解、掌握和靈活運用.

高中數(shù)學(xué)證明方法范文第4篇

關(guān)鍵詞：新課程 教學(xué)改革 創(chuàng)新

從總體上說，當(dāng)今的中學(xué)課堂教學(xué)，仍然是灌輸式教學(xué)占絕對優(yōu)勢。很顯然，有些教學(xué)改革就其內(nèi)在動機而言，主要還是面向各種考試，特別是應(yīng)付高考的。隨著國家新課程標準的全面實施，尤其是隨著普通高中課程標準實驗教材的面世和進人實驗區(qū)，高中教學(xué)無論是在理念層面還是在操作層面，都將面臨許多新的挑戰(zhàn)。因此，高中教學(xué)如何才能適應(yīng)新課程改革所提出的各項要求，就成了人們關(guān)注的焦點。下面就當(dāng)今高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題及對策談?wù)勛约簻\顯的認識。

1．高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題。數(shù)學(xué)是一切科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，因而數(shù)學(xué)的重要作用和地位是不容置疑的。隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)與其他科學(xué)之間的相互交叉，相互滲透，大量的數(shù)學(xué)方法在科學(xué)研究和各個生產(chǎn)領(lǐng)域被成功應(yīng)用，這些都顯示了數(shù)學(xué)的巨大作用。高中數(shù)學(xué)的教學(xué)任務(wù)就是要通過教學(xué)活動讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想和方法，展示數(shù)學(xué)在解決實際問題中的適用性和有效性，并能用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決實際問題的能力，使學(xué)生初步具備能深入自學(xué)數(shù)學(xué)的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，即數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)。但現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)教育中，有許多令人不滿意的地方，改革也迫在眉睫，就高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言存在以下幾個問題。

(1)教學(xué)內(nèi)容的局限。眾所周知，現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，大都是新舊交替，內(nèi)容陳1日，基本上一應(yīng)試教育為目的的框架，突出的問題為以理論知識和邏輯推導(dǎo)的傳授為主，主要尋求問題的解析解，缺乏數(shù)值計算，重在許許多多的變換技巧，缺乏現(xiàn)代數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，信息量少，不能體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法，這使得高中數(shù)學(xué)內(nèi)容滯后實際需要。同時這種重技巧的訓(xùn)練使得課程內(nèi)容多，而學(xué)時少，師生共同趕進度，于是犧牲應(yīng)用，多講理論，深奧的理論使學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高，嚴重影響教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生求知用學(xué)的積極性，更不要說對學(xué)生進行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育了，學(xué)生的學(xué)習(xí)是為了應(yīng)付考試，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)進入一種不良循環(huán)，很多學(xué)生學(xué)習(xí)厭倦，當(dāng)用到數(shù)學(xué)知識時，才感到數(shù)學(xué)的重要，為時已晚。

(2)現(xiàn)代技術(shù)的教育手段運用不足。高中數(shù)學(xué)在強調(diào)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育，創(chuàng)新能力培養(yǎng)的今天，教學(xué)手段也應(yīng)不斷更新，各種數(shù)學(xué)軟件包，計算機輔助教學(xué)以及數(shù)學(xué)實驗的介人，使得我們的教學(xué)手段更具有現(xiàn)代化，效果更好。而這些工具我們很少用到高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，依然是教師在黑板上重復(fù)著定理的推導(dǎo)，定理的證明，學(xué)生在聽的單一教學(xué)方式，這樣很難減少課時數(shù)，很難改變學(xué)生被動學(xué)習(xí)的狀態(tài)，不能實現(xiàn)師生互動，雙向交流。

2．實施教學(xué)改革的探索。在教學(xué)中，通過師生交流和相互作用，教師要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，注重不同學(xué)生的素質(zhì)，教授給符合學(xué)生要求的數(shù)學(xué)知識，真正培養(yǎng)學(xué)生分析，解決問胚的能力。這些問題是培養(yǎng)創(chuàng)新意識的關(guān)鍵，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)關(guān)鍵所在。

(1)注意精講，幫助學(xué)生理解深度知識。學(xué)生的年齡特點，知識經(jīng)驗以及數(shù)學(xué)自身的特點，決定了一些數(shù)學(xué)內(nèi)容需要深度講解。這些內(nèi)容包括學(xué)生對某-此數(shù)學(xué)概念未建立之前而自身需要主動建構(gòu)這個知識框架的數(shù)學(xué)內(nèi)容；這些數(shù)學(xué)內(nèi)容包含大量的邏輯上沒有聯(lián)系且遠離學(xué)生實際的事實，一些重要概念或不加證明的公理等。這些內(nèi)容教師宜作深度講解，即采取精講的方法。對于高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)概念、連續(xù)性、單調(diào)性、周期性定義等需要細致深入的精講，從其產(chǎn)生的知識背景及發(fā)展過程，以及數(shù)學(xué)家如何分析歸納這類現(xiàn)象和問題，而由此提出的新概念、新理論。從中把解決這類問題的過程、思想、力法展示給學(xué)生，以此建立相關(guān)概念并培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神。

(2)注重抽象定理內(nèi)容的解釋，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想。證明顯沒有經(jīng)驗的學(xué)生最害怕的事情，而教師對知識的解釋則相對受歡迎，因為解釋通常被認為不像證明那樣形式化。從另外一方面來說，一個好的解釋里實際包含了一個形式證明的重要思想，集中精力于解釋定理里所包含的數(shù)學(xué)思想而不是證明，這樣并沒有削弱對定理內(nèi)容的理解。我們重復(fù)一個被前人已證明過無數(shù)次的定理，學(xué)生對這個定理的內(nèi)容并不一定理解，我們真正的目標是理解。、對于高中數(shù)學(xué)巾抽象內(nèi)容，要求教師形象解釋，使學(xué)生理解，通過解釋來理解這些內(nèi)容，而不是把重點放在證明。解釋其中包含的數(shù)學(xué)思想，了解其背后的數(shù)學(xué)精神，讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶，受到智慧的啟迪。

(3)積極開展數(shù)學(xué)建模教育。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就足試圖用數(shù)學(xué)去解決實際問題，用數(shù)學(xué)語言盡力能刻畫實際問題，能把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，而這一種轉(zhuǎn)化過程即就是數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模就是應(yīng)用建立數(shù)學(xué)模型來解決各種實際問題的方法，也就是通過實際問題的抽象、簡化確定變量和參數(shù)，并應(yīng)用某些“規(guī)律”建立起變量、參數(shù)問的確定的數(shù)學(xué)問題，求解該數(shù)學(xué)問題，解釋、驗證所得到的解，從而確定這個模型能否進一步推廣，解決實際問題。

(4)充分利用多媒體教學(xué)，使教學(xué)手段現(xiàn)代化。在強調(diào)素質(zhì)教育的今天，教學(xué)手段也在不斷的更新，多媒體計算機、投影電視系統(tǒng)等高新技術(shù)在教學(xué)中發(fā)揮越來越火的作用。現(xiàn)代技術(shù)手段用于教學(xué)中，更能突出數(shù)學(xué)理論直觀再現(xiàn)，同時也突破了傳統(tǒng)課堂的教學(xué)方式，而且能促使學(xué)生更好的理解所學(xué)的內(nèi)容，并能使學(xué)生面對實際問題，積極思考，主動參與，學(xué)生使用數(shù)學(xué)軟件加深了對數(shù)學(xué)概念與理論的深入理解。

高中數(shù)學(xué)證明方法范文第5篇

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；不等式；教學(xué)方法

一直以來，不等式都是高中數(shù)學(xué)的一個重要組成部分，也是高中數(shù)學(xué)中最為經(jīng)典的內(nèi)容之一，它是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中必不可少的一部分，同時也是最難的要點之一。不等式反映了事物在量上的區(qū)別，是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容。同時不等式與很多其他知識也具有緊密的聯(lián)系，在很多涉及量的范圍以及最值的內(nèi)容上基本都會用到它。結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗，提出幾點關(guān)于高中數(shù)學(xué)課堂不等式教學(xué)的建議。

一、把握好不等式內(nèi)容的教學(xué)要求

在高中數(shù)學(xué)課堂的不等式教學(xué)中，首先要準確地把握好教學(xué)要求，不能隨意地提高教學(xué)要求，而是應(yīng)該在數(shù)學(xué)標準的具體要求下嚴格控制教學(xué)的深廣度。在課程標準的要求上，教材都給出了詳細的概括，對幾個教學(xué)內(nèi)容都給了極為明確的教學(xué)要求，例如，在解含有絕對值的不等式時，只要求學(xué)生可以解幾種特殊類型的不等式即可，而不要求學(xué)生能夠解所有類型的含絕對值的不等式。同時在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的時候，也只要求學(xué)生會證明一些簡單的問題等等。另外，在不等式以及數(shù)學(xué)歸納法的很多問題中，常常需要使用一些具有極強技巧性的恒等變形。教師在這個環(huán)節(jié)的教學(xué)中，應(yīng)該控制這方面的教學(xué)要求，不能使整個教學(xué)陷于一種過于形式化且較為復(fù)雜的恒等變形之類的技巧之中去。此外，還不能對學(xué)生的要求過于高，不能以專業(yè)的水平來要求學(xué)生。對于絕大多數(shù)學(xué)生，需要通過一些極為簡單的問題使他們懂得這個知識的應(yīng)用。

二、加強在教學(xué)方式方面的改進

現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中仍然存在著一些極為嚴重的問題，對學(xué)生而言，最為主要的就是學(xué)習(xí)比較被動，一般都是通過接受式的方法進行學(xué)習(xí)，而作為教師一般都選擇灌輸式的教學(xué)方式，這樣就使得教師在教學(xué)中對學(xué)生的引導(dǎo)和啟發(fā)不夠，學(xué)生的探索意識不強，不能主動地去發(fā)現(xiàn)新問題，不能用很好的方法去解決問題。這就要求教師在教學(xué)中應(yīng)該注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。例如，在對基本不等式講解時，教科書中就提出了一個讓學(xué)生自己思考的問題——“對于三個正數(shù)會有怎樣的不等式成立呢？”在學(xué)生證明了關(guān)于三正數(shù)的均值不等式后，又提出了一個關(guān)于一般均值不等式的解法；在證明完二維和三維的柯西不等式后，就出現(xiàn)了一個具有探究性的問題——“對比二維形式三維形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式嗎？”又如，“一般形式的三角不等式應(yīng)該是怎樣的？”等等，這些具有探究性的問題在整個教材中隨處可見。教師就應(yīng)該充分地利用這些問題，去引導(dǎo)學(xué)生在自己探究的過程中理解知識的應(yīng)用過程。

三、借助幾何方法，使學(xué)生對不等式的理解更為直觀

不等式是通過數(shù)量關(guān)系來對整個現(xiàn)實世界進行刻畫的，因此，我們一般是通過用代數(shù)的方法來證明不等式的。要通過代數(shù)進行證明，一般需要經(jīng)過一系列的變形，而其中的數(shù)量關(guān)系人們往往是不能直接看出來的。此時，就需要借助幾何方法，把不等式中的有關(guān)量恰當(dāng)?shù)赜脠D形中的幾何量表示出來，這樣，就能很好地表示出不等關(guān)系，使學(xué)生能夠很直觀地從幾何的角度理解很多重要的不等式的幾何背景。我們教科書中所呈現(xiàn)的不等式的幾何背景，往往能夠幫助學(xué)生很好地理解不等式的幾何本質(zhì)。例如：絕對值的三角不等式是通過借助向量以及三角形的邊長關(guān)系表示的；柯西不等式是通過借助向量運算表示出來的等等。教師應(yīng)該通過這樣的方式來引導(dǎo)學(xué)生在面對數(shù)學(xué)問題時能夠從幾何的角度進行思考，從而找到解決問題的方法。

四、注重數(shù)學(xué)思想方法

之所以強調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的運用，是因為數(shù)學(xué)思想方法是通過思維活動對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式進行認知的核心。其中既包括知識內(nèi)容的最基本的表象概念，也包括需要掌握一定知識所需要的思維方式。就高中數(shù)學(xué)而言，最為常用的數(shù)學(xué)思想方法主要有化歸、模型、遞推、分類、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等，這些不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中不可缺少的數(shù)學(xué)方法，同時還是教師教學(xué)中的重要方法。高中數(shù)學(xué)中最為常用的思想方法有：分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想、函數(shù)與方程思想等，這些方法都可以在不等式教學(xué)中進行滲透。

1.分類討論思想

分類討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的異同點把數(shù)學(xué)對象分為不同種類的具有一定的從屬關(guān)系的數(shù)學(xué)思想方法。掌握分類討論思想對提高學(xué)生的理解能力以及對知識的整理和獨立獲得有重要幫助，同時還可以幫助學(xué)生形成較為嚴密的知識網(wǎng)絡(luò)。

2.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是通過用數(shù)解形或以形助數(shù)來處理數(shù)學(xué)問題。數(shù)形結(jié)合思想在整個高中數(shù)學(xué)教育中都是可以使用的。這一思想的具體運用體現(xiàn)在數(shù)軸、三角法、復(fù)數(shù)法、計算法和幾何題、向量法、圖解法、解析法等等。這些都是用數(shù)形結(jié)合思想使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，使問題更簡單地被解決。在不等式的教學(xué)中，教師更應(yīng)充分地利用圖形以及圖象讓學(xué)生更清楚地理解知識。這些不等式問題的解決，如果利用數(shù)形結(jié)合思想，將不等式中的抽象思維和形象思維加以結(jié)合，就能使不等式的問題化困難為簡單。

3.轉(zhuǎn)化（化歸）思想

轉(zhuǎn)化思想是將已有的相關(guān)知識經(jīng)驗，通過觀察、聯(lián)想以及類比等方式，把問題變換、轉(zhuǎn)化成容易解決的問題的思想方法。這個方法是讓學(xué)生形成一種化歸意識，在平時的學(xué)習(xí)中熟練地掌握各種知識的轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化。例如，可以將多元方程通過轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為一元方程，將鈍角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，把高次的方程化為低次的方程等等。學(xué)生能將新學(xué)的知識運用到舊知識中去，在學(xué)習(xí)了新知識的同時又鞏固了舊知識。

4.函數(shù)方程思想

函數(shù)方程思想是在解決有些數(shù)學(xué)問題時，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)或者方程將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)或者方程的思想，函數(shù)與方程之間是互相聯(lián)系的。例如，證明不等式離不開換元以及函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)方程思想有助于加深對數(shù)學(xué)知識的理解，對數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要意義。

不等式在整個高中數(shù)學(xué)中的作用極其重要。作為教師，在對不等式進行教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生逐步地學(xué)會自我學(xué)習(xí)，這樣有助于知識更容易被吸收，也更牢固。通過以上高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)方法的探討，希望可以給教師的授課以及學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來幫助。

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